İŞARET AKIŞ ŞEMALARI

İŞARET AKIŞ ŞEMALARI

(SIGNAL FLOW GRAPHS)

Öbek gösterim, denetim sistemlerinin çizimsel olarak gösterilmesinde çok kullanışlı olmakla birlikte, oldukça karmaşık bir sistemde öbek gösterimi sadeleştirme işlemi oldukça fazla zaman harcanmasına yol açar. Karmaşık bir denetim sisteminde sistem değişkenleri arasında istenen bağıntıyı bulmakta kullanılan diğer bir yaklaşım, S. J. Mason tarafından geliştirilmiş olan işaret akış şemasıdır.

Bir işaret akış şeması, bir doğrusal cebirsel denklemler dizisinin değişkenleri arasındaki giriş-çıkış ilişkilerini tanımlamanın çizimsel bir yoludur. İşaret akış şeması denetim sistemlerini çözümlemek için uygulandığında, ilk önce doğrusal türevsel denklemler s bölgesinde cebirsel denklemlere dönüştürülmelidir. Bir işaret akış şeması, yönlendirilmiş dallarla (kollarla) birbirine bağlanmış düğüm noktalarının içinde bulunduğu bir ağdan oluşur. Her bir düğüm noktası bir sistem değişkenini temsil eder ve iki düğüm noktası arasına bağlı her bir dal bir işaret çarpıcı görevi görür. İşaret akışının tek yönlü olduğuna dikkat edilmelidir. İşaretin akış yönü dal üzerine bir ok işareti konulmakla belirtilir ve çarpma katsayısı dal üzerinde belirtilir.

Bir işaret akış şeması sistemin bir noktasından öbürüne işaretlerin akışını tanımlar ve işaretler arasındaki bağıntıyı verir. Esas olarak bir öbek gösterim ile aynı bilgiyi içerir. Bir denetim sistemini göstermek için işaret akış şeması kullanmanın üstünlüğü, şemanın sadeleştirilmesine gerek duyulmaksızın sistem değişkenleri arasındaki ilişkiyi doğrudan doğruya veren ve Mason Kazanç Formülü olarak adlandırılan çok kullanışlı bir formülün olmasıdır.

İşaret akış şeması ile ilgili tanımlar aşağıda verilmektedir:

Düğüm noktası (node): Bir değişkeni ya da işareti gösteren nokta.

Aktarganlık (transmittance): İki düğüm noktası arasındaki kazanç.

Dal ya da kol (branch): İki düğüm noktasını birleştiren doğru parçası.

Giriş düğüm noktası ya da kaynak (input node, source): Yalnızca kendinden çıkan dalların bulunduğu düğüm noktası olup bağımsız bir değişkendir.

Çıkış düğüm noktası ya da soğurucu (output node, sink): Yalnızca kendisine gelen dalların olduğu düğüm noktası olup bağımlı bir değişkendir.

Karmaşık düğüm noktası (mixed node): Kendisine gelen ve kendisinden çıkan dalların bulunduğu düğüm noktası.

Yol (path): Belirli bir yönde kesintisiz olarak izlenen dallar topluluğu. Dallardaki okların yönünde gidilerek geçilen dalların birbirine bağlı grubudur. Bir düğüm noktasından birden fazla geçilmezse, yol açık yol (open path) adını alır. Eğer yol başladığı düğüm noktasında biterse ve herhangi bir diğer düğüm noktasını birden fazla geçmezse, kapalı yol (closed path) adını alır. Aynı düğüm noktasını birden fazla geçen ve başladığı düğüm noktasına göre farklı bir düğüm noktasında biten yol ne açık ne de kapalı yol tanımına girer.

Döngü (loop): Kapalı bir yol.

Döngü kazancı (loop gain): Bir döngüde bulunan dallardaki aktarganlıkların çarpımı.

Öz döngü ya da kendisine döngü (self-loop): Yalnızca bir daldan oluşan ve aynı düğüm noktasından çıkarak aynı düğüm noktasıyla sonuçlanan yol.

Değmeyen döngüler (nontouching loops): Herhangi bir ortak düğüm noktası bulunmayan döngüler.

İleri yol (forward path): Giriş düğüm noktasından çıkış düğüm noktasına kadar herhangi bir düğüm noktasının birden fazla geçilmediği yol.

İleri yol kazancı (forward path gain): İleri bir yolda bulunan dallardaki aktarganlıkların çarpımı.

İşaret akış şemalarının özellikleri:

Bir dal, bir işaretin diğeri üzerindeki işlevsel bağımlılığını belirtir. Bir işaret yalnızca o daldaki ok işaretiyle belirlenen yönde geçebilir.
Bir düğüm noktası kendine gelen tüm dallardaki işaretleri toplar ve bu toplamı kendisinden çıkan tüm dallara aktarır.
Hem gelen hem de çıkan dallara sahip olan karmaşık bir düğüm noktası, birim aktarganlıklı bir çıkan yol eklenmesiyle bir çıkış düğüm noktası gibi düşünülebilir. Bununla birlikte karmaşık bir düğüm noktası bu yöntemle bir giriş düğüm noktasına dönüştürülemez.
Verilen bir sistemin işaret akış şeması tek değildir. Sistem denklemleri farklı şekillerde yazılarak, verilen bir sistemin birçok işaret akış şeması çizilebilir.

Örnek: x_i ve x_j bir denetim sistemine ilişkin doğrusal iki değişken olsun. Bu iki değişken arasında x_i = a_ij . x_j bağıntısı olduğunu düşünürsek, bu bağıntının işaret akış şeması aşağıdaki şekilde olacaktır.

Bu çizimde,

X_j : giriş düğüm noktası,

X_i : çıkış düğüm noktası,

a_ij : aktarganlık

anlamına gelmektedir.

Örnek: Aşağıda verilen doğrusal denklemlere ilişkin işaret akış şemalarını çizin ve yukarıda tanımlanan akış şeması öğelerini bu şekil üzerinde belirtin.

x₂= a₂₁ . x₁ + a₂₃ . x₃

x₃= a₃₃ . x₃ + a₃₂ . x₂ + a₃₄ . x₄

x₄= a₄₃ . x₃ + a₄₂ . x₂

x₅= a₅₄ . x₄

Verilen şemada,

x₁ : giriş düğüm noktası,

x₅ : çıkış düğüm noktası,

x₂, x₃, x₄ : karmaşık düğüm noktaları

a₂₁, a₂₃, a₃₂, a₃₃, a₃₄, a₄₂, a₄₃, a₅₄ : aktarganlıklar

Öz döngü : x₃’den başlayıp yine x₃’de biten a₃₃ aktarganlığı olan döngü.

İleri yol : (a₂₁, a₃₂, a₄₃, a₅₄) yolu. Ayrıca (a₂₁, a₄₂, a₅₄) yolu.

Döngü : (a₃₂, a₂₃) yolu. Ayrıca (a₄₃, a₃₄) yolu. Ayrıca (a₄₂, a₃₄, a₂₃) yolu.

Örnek: Aşağıda verilen işaret akış şemasını inceleyin ve yukarıda tanımlanan akış şeması öğelerini bu şekil üzerinde belirtin.

Verilen şemada,

X₁ : giriş düğüm noktası,

X₂, X₃ : karışık düğüm noktaları,

X₃ : çıkış düğüm noktası

X₄ : giriş düğüm noktası

a, b, c, d, 1 : aktarganlıklar

İleri yol : (a, b, 1) yolu. Ayrıca (d, 1) yolu.

Döngü : (b, c) yolu.

MASON KAZANÇ FORMÜLÜ

MASON’S GAIN FORMULA

Birçok pratik uygulamada, işaret akış şemasındaki bir giriş değişkeni ile bir çıkış değişkeni arasındaki bağıntının belirlenmesi istenir. Bir giriş düğüm noktası ile bir çıkış düğüm noktası arasındaki aktarganlık, bu iki düğüm noktası arasındaki toplam kazancı verir.

Mason kazanç formülü aşağıdaki şekilde tanımlanır:

Burada,

P : biri giriş diğeri çıkış olmak üzere iki düğüm noktası arasındaki kazanç (aktarım işlevi ya da geçiş işlevi),

X_ç : çıkış düğüm noktası değişkeni,

X_g : giriş düğüm noktası değişkeni,

n : ileri yol sayısı,

P_k : k’ıncı ileri yol kazancı,

Δ : şemanın determinantı

Δ = 1 – (tüm bireysel döngülerin kazançlarının toplamı) + (değmeyen ikili döngülerin tüm olası birleşimlerindeki kazanç çarpımlarının toplamı) – (değmeyen üçlü döngülerin tüm olası birleşimlerindeki kazanç çarpımlarının toplamı) + ………….

Δ_k : k’ıncı ileri yola değen tüm döngüler ortadan kaldırıldığındaki şemanın determinantı. Bu determinant, Δ’nın bir parçası olup, Δ’daki k’ıncı ileri yola değen tüm döngüleri sıfıra eşitlemekle bulunur.

Mason kazanç formülü yalnızca bir giriş düğüm noktası ile bir çıkış düğüm noktası arasında uygulanabilir. Uygulama sırasında aşağıdaki yol izlenmelidir:

Sistemin akış şemasını çizin.
Akış şeması üzerinde tüm ileri yolları gösterin ve P_k kazançlarını yazın.
Akış şeması üzerindeki tüm kapalı döngüleri (öz döngüler dahil) belirleyin ve bunlara ait L_i kazançlarını yazın.
Akış şeması üzerinde değmeyen döngüleri saptayın ve gerekli kazanç çarpımlarını yazın.
Akış şemasının determinantını bulun. Bu determinant tektir ve değişmez.
Δ_k değerlerini bulun.
Bulduğunuz tüm değerleri doğru şekilde formül üzerine yerleştirin ve sistemin aktarım işlevini yazın.

Örnek: Aşağıda verilen işaret akış şemasının R(s) girişi ile C(s) çıkışı arasındaki aktarım işlevini Mason Kazanç Formülü’nü uygulayarak bulun.

Şemadaki ileri yollar üç tanedir:

(1, H₆, 1) yolu ; P₁ = 1 . H₆ . 1 = H₆

(1, G₁, G₂, G₃, G₄, 1) yolu; P₂ = 1 . G₁ . G₂ . G₃ . G₄ . 1 = G₁.G₂.G₃.G₄

(1, G₁, G₂, H₃, G₄, 1) yolu; P₃ = 1 . G₁. G₂ . H₃ . G₄ . 1 = G₁.G₂.H₃.G₄

Şemada kapalı döngüler beş tanedir:

(G₂, -H₂) döngüsü; L₁ = -G₂.H₂

(G₄, -H₄) döngüsü; L₂ = -G₄.H₄

(G₁, G₂, G₃, G₄, -H₅) döngüsü; L₃ = -G₁.G₂.G₃.G₄.H₅

(G₁, G₂, H₃, G₄, -H₅) döngüsü; L₄ = -G₁.G₂.H₃.G₄.H₅

(H₆, -H₅) döngüsü; L₅ = -H₅.H₆

Şemada birbirine değmeyen ikili döngülerin olası tüm birleşimleri iki tanedir:

(G₂, -H₂) döngüsü ile (G₄, -H₄) döngüsü; [-(G₂.H₂)].[-(G₄.H₄)] = G₂.G₄.H₂.H₄

(G₂, -H₂) döngüsü ile (H₆, -H₅) döngüsü; [-(G₂.H₂)].[-(H₆.H₅)] = G₂.H₂.H₅.H₆

Şemada birbirine değmeyen üçlü döngüler yoktur.

Bu durumda şemanın determinantı,

Δ = 1 – [(-G₂.H₂) + (-G₄.H₄) + (-G₁.G₂.G₃.G₄.H₅) + (-G₁.G₂.H₃.G₄.H₅) + (-H₅.H₆)] + [(G₂.G₄.H₂.H₄) + (G₂.H₂.H₅.H₆)]

Δ = 1 + G₂.H₂ + G₄.H₄+ G₁.G₂.G₃.G₄.H₅+ G₁.G₂.H₃.G₄.H₅ + H₅.H₆ + G₂.G₄.H₂.H₄ + G₂.H₂.H₅.H₆

şeklinde bulunur.

Verilen şemada üç tane ileri yol olduğundan, P₁ ileri yolu kaldırıldığında, bu yola değmeyen döngüler olarak yalnızca L₁ döngüsü kalacağından, geri kalan şemanın determinantı, Δ₁:

Δ₁ = 1 – [(-G₂.H₂)] = 1 + G₂.H₂

P₂ ileri yolu kaldırıldığında bu yola değmeyen döngüler olarak hiçbir döngü kalmayacağından, geri kalan şemanın determinantı, Δ₂:

Δ₂ = 1 – [(0)] = 1

P₃ ileri yolu kaldırıldığında bu yola değmeyen döngüler olarak hiçbir döngü kalmayacağından, geri kalan şemanın determinantı, Δ₃:

Δ₃ = 1 – [(0)] = 1

olarak belirlenir.

Buradan, sistem şemasının toplam aktarım işlevi Mason Kazanç Formülü uygulanarak aşağıdaki gibi bulunur:

Örnek: Aşağıda verilen işaret akış şemasının X(s) girişi ile Y(s) çıkışı arasındaki aktarım işlevini Mason Kazanç Formülü’nü uygulayarak bulun.

Verilen şemada bir tane ileri yol mevcuttur:

(1, 1/s, 1/s, b) yolu; P₁= 1 . (1/s) . (1/s) . b = b/s²

Şemada kapalı döngüler iki tanedir:

(1/s, -a₁) döngüsü; L₁ = (1/s).(-a₁) = -(a₁/s)

(1/s, 1/s, -a₂) döngüsü; L₂ = (1/s).(1/s).(-a₂) = -(a₂/s²)

Şemada birbirine değmeyen iki ya da daha fazla sayıda döngü bulunmamaktadır. Bu durumda, şemanın determinantı,

Δ = 1 - [(-a₁/s) + (-a₂/s²)] + 0 = 1 + (a₁/s) + (a₂/s²)

olarak bulunur.

Verilen şemada bir tane ileri yol olduğundan, P₁ ileri yolu kaldırıldığında, bu yola değmeyen döngüler olarak hiçbir döngü kalmayacağından, geri kalan şemanın determinantı, Δ₁:

Δ₁ = 1

olarak bulunur.

Buradan, sistem şemasının toplam aktarım işlevi Mason Kazanç Formülü uygulanarak aşağıdaki gibi bulunur:

Örnek: Aşağıda verilen işaret akış şemasının X(s) girişi ile Y(s) çıkışı arasındaki aktarım işlevini Mason Kazanç Formülü’nü uygulayarak bulun.

Verilen şemada iki tane ileri yol mevcuttur:

(1, 1/s, 1/s, b₂, 1) yolu; P₁ = (1).(1/s).(1/s).(b₂).(1) = b₂/s²

(1, 1/s, b₁, 1) yolu; P₂ = (1).(1/s).(b₁).(1) = b₁/s

Şemada kapalı döngüler iki tanedir:

(1/s, -a₁) döngüsü; L₁ = (1/s).(-a₁) = -(a₁/s)

(1/s, 1/s, -a₂) döngüsü; L₂ = (1/s).(1/s).(-a₂) = -(a₂/s²)

Şemada birbirine değmeyen iki ya da daha fazla sayıda döngü bulunmamaktadır. Bu durumda, şemanın determinantı,

Δ = 1 - [(-a₁/s) + (-a₂/s²)] + 0 = 1 + (a₁/s) + (a₂/s²)

olarak bulunur.

Verilen şemada iki tane ileri yol olduğundan, P₁ ileri yolu kaldırıldığında, bu yola değmeyen döngüler olarak hiçbir döngü kalmayacağından, geri kalan şemanın determinantı, Δ₁:

Δ₁ = 1

Ve P₂ ileri yolu kaldırıldığında, bu yola değmeyen döngüler olarak hiçbir döngü kalmayacağından, geri kalan şemanın determinantı, Δ₂:

Δ₂ =1

olarak bulunur.

Buradan, sistem şemasının toplam aktarım işlevi Mason Kazanç Formülü uygulanarak aşağıdaki gibi bulunur:

Örnek: Aşağıda verilen işaret akış şemasının X(s) girişi ile Y(s) çıkışı arasındaki aktarım işlevini Mason Kazanç Formülü’nü uygulayarak bulun.

Verilen şemada iki tane ileri yol mevcuttur:

(a, e, 1) yolu; P₁ = a . e . 1 = a.e

(a, b, c, 1) yolu; P₂ = a . b . c . 1 = a.b.c

Şemada kapalı döngüler üç tanedir:

(-d) döngüsü (öz döngü); L₁ = -(d)

(e, -g) döngüsü; L₂ = (-g).(e) = - (e.g)

(b, c, -g) döngüsü; L₃ = (b).(c).(-g) = -(b.c.g)

Şemada birbirine değmeyen ikili döngülerin olası tüm birleşimleri bir tanedir:

(-d) döngüsü ile (e, -g) döngüsü; [-(d)].[-(e.g)] = d.e.g

Şemada birbirine değmeyen üçlü döngüler yoktur.

Bu durumda şemanın determinantı,

Δ = 1 - [(-d) + (-e.g) + (-b.c.g)] + [(-d)*(-e.g)] = 1 + d + e.g + b.c.g + d.e.g

şeklinde bulunur.

Verilen şemada iki tane ileri yol olduğundan, P₁ ileri yolu kaldırıldığında, bu yola değmeyen döngüler olarak yalnızca L₁ döngüsü kalacağından, geri kalan şemanın determinantı, Δ₁:

Δ₁ = 1 - [(-d)] = 1+d

Ve P₂ ileri yolu kaldırıldığında, bu yola değmeyen döngüler olarak hiçbir döngü kalmayacağından, geri kalan şemanın determinantı, Δ₂:

Δ₂ =1

olarak bulunur.

Buradan, sistem şemasının toplam aktarım işlevi Mason Kazanç Formülü uygulanarak aşağıdaki gibi bulunur:

Örnek: Aşağıda verilen işaret akış şemasının X(s) girişi ile Y(s) çıkışı arasındaki aktarım işlevini Mason Kazanç Formülü’nü uygulayarak bulun.

Verilen şemada bir tane ileri yol mevcuttur:

(1, G1, G2, G₄, G₅) yolu; P₁= (1).(G₁).(G₂).(G₄).(G₅) = G₁G₂G₄G₅

Şemada kapalı döngüler üç tanedir:

(G₂, G₄, -1) döngüsü; L₁= (-1).(G₂).(G₄) = -G₂G₄

(G₁, G₂, G₄, G₅, -1) döngüsü; L₂ = (-1).(G₁).(G₂).(G₄).(G₅) = -G₁G₂G₄G₅

(G₄, G₅, -G₃) döngüsü; L₃ = (-G₃).(G₄).(G₅) = -G₃G₄G₅

Şemada birbirine değmeyen iki ya da daha fazla sayıda döngü bulunmamaktadır. Bu durumda, şemanın determinantı,

Δ = 1 - [(-G₂G₄) + (-G₁G₂G₄G₅) + (-G₃G₄G₅)] = 1 + G₂G₄ + G₁G₂G₄G₅ + G₃G₄G₅

olarak bulunur.

Verilen şemada bir tane ileri yol olduğundan, P₁ ileri yolu kaldırıldığında, bu yola değmeyen döngüler olarak hiçbir döngü kalmayacağından, geri kalan şemanın determinantı, Δ₁:

Δ₁ = 1

olarak bulunur.

Buradan, sistem şemasının toplam aktarım işlevi Mason Kazanç Formülü uygulanarak aşağıdaki gibi bulunur:

İşaret akış şemasında herhangi iki düğüm arasındaki toplam kazanç ya da aktarım işlevini bulmak için başka bir bağıntı da verilebilir. Böylece x_i giriş ve x_j çıkış düğüm noktası olmak üzere, bu iki düğüm noktası arasındaki toplam kazanç,

olarak verilir. Burada Δ, orijinal sistemin determinantı, Δ’ ise x_i ile x_j arasına aktarganlığı (1) olan yeni bir dalın eklenmesiyle elde edilen ve böylece öğe sayısı bir tane artırılmış olan yeni işaret akış şemasının determinantıdır.